Планируем с Венгерской визой посетить другие граничащие страны на арендованной машине. Нас предупредили, что на границах стали ужесточать контроль, так ли это?

Ну, бывают посты с проверками. Если доки все в порядке, то не пустить не могут

Мы из Австрии в Венгрию без какого-либо контроля въехали с ветерком

Внутри шенгена периодически вводят внутренний контроль, текущая ситуация гуглится по запросу temporary internal border checks EU (или как-то похоже) - смотрите, сверяйте со своим маршрутом.

Если ничего мутного - все должно быть ок, я однажды попал на такое въезжая в Швецию из Дании автобусом, сразу после Эресуннского моста. Ничего жуткого, попросили показать брони отеля, обратный билет - доказать что я турист

Ну могут проверить, но не должно проблем быть, с визой то