Подскажите, после подачи документов в анч, когда есть смысл проверять ситуацию по номеру досара? Например если надо донести доки.

Раньше имело смысл через год, потом стало иметь смысл через три года, потом не раньше четырех. Сейчас три года минимум. Если подали все с апостилями по новым правилам, то ничего доносить не придется. Румынское гражданство это долгое ожидание.