Подскажите, пожалуйста, кету обязательно делать за 2-3 суток до выезда в корею или можно и за месяц сделать?

Можно когда угодно ее делать. Ее срок «годности» 3 года, главное уложить поездку в эти 3 года

Лучше пораньше чтобы была возможность в случае отказа подать еще раз или визу

Действителен в течении трёх лет. То есть можно поехать на пару месяцев , позже двух с половина года.