По стечению обстоятельств один из родителей сначала едет с ребёнком в Корею путешествовать, оформляем разрешение на выезд у нотариуса, а нужно ли его легализовывать или необязательно?

Не очень поняла, что значит легализовать, но по опыту своему личному нотариальное разрешение на выезд для ребенка от имени другого родителя (в моём случае отца несовершеннолетнего ребенка) спрашивали всегда на русской границе. Вот всегда! Куда бы я с ребенком не летела. Доверенность уже прямо заученно отец делал у нотариуса.

Если ребенок едет с одним из родителей, то разрешение на выезд не спрашивают никогда, если нет запрета от второго родителя. Страну въезда вообще не интересует, кем приходится ребенку сопровождающий его взрослый. Так что вам ничего не надо