Помогите, пожалуйста, понять: почему нельзя приехать по туристической визе в Венгрию, открыть компанию, стать там директором и получить ВНЖ на основании этого?

потому что подача на долгосрочные визы осуществляется из страны, где Вы резидент. Если Вы турист, то резидент вы не в Венгрии, значит в Венгрии подавать нельзя. Это касается любой страны Европы.

Те, кто меняют на директора, пусть и расскажут, но я сомневаюсь- изменение основания для пребывания без выезда- это скорее исключение- например, так лучше для ребёнка.

Поэтому не знаю, где Вы заметили, что почти все так делают.