Я выпускник, учусь в 11 классе, хочу поступить на специальность со вступительным экзаменом, но сроки подачи документов заканчиваются 5 июня, в тот же день когда мне выдают аттестат.

Подайся без аттестата.

1) егэ досрочно сдать можно 2) подать заявку в университет без аттестата можно, но тебе приглашение не придет пока ты его не приложишь.

Можно подать неполную заявку, а потом догрузить аттестат. Мы так делали.