Регистрация брака в Монголии очередь быстрая ? Будет ли на русском паспорте штамп брака Монголий ? Есть тут знающие люди ? Как все происходит ?

Монгольский штамп в российском паспорте точно не будет) Позвоните в консульство.

С вас обоих могут затребовать справки о том что вы не женаты/замужем на территории стран гражданами которых вы являетесь, либо свидетельство о разводе и не забывайте что двоежёнство это уголовное наказание.