Не подскажете можно ли сделать двойное гражданство РФ и Азербайджан

Двойного гражданства нет, не признается. А вот два гражданства - это другая история.

При получении гражданства РФ отказываться не придется. В обе стороны наверное это работает.

Не двойное, а два. Два гражданства даже если и получится получить, то потом азербайджанские шахсият и загранник получить будет сложно. Щахсият хоть и выдают уже, но загранник пока еще с ограничениями.