Подскажите по ТМ30 в Таиланде, после регистрации должна быть какая-то бумага на руках или в паспорте, подтверждающая регистрацию?

Может быть, но не обязательно. Из личного кабинета печатается, если она вам нужна - запросите арендодателя или отель.

Да, либо скриншот, либо pdf. При желании/необходимости распечатываете.