Подскажите, пожалуйста, может ли работодатель написать письмо в посольство, чтобы ускорить приглашение на подачу документов.

Возможно, зависит от того, какой работодатель. За меня писали и даже звонили и консулу и в АБХ в Германии, когда моё заявление на визу рассматривали очень долго. Это имело смысл, т. к. у меня работодатель - крупный университет и у них есть все эти контакты и даже право совещательного голоса в вопросе о выдаче визы. После их запросов посольство оживлялось, но это не касалось записи на подачу документов, а касалось сроков рассмотрения. Исходя из моего опыта наводить суету имеет смысл.