В середине мая заканчивается Даркон. Есть российский загранпаспорт. Поездка должна была состояться с конца апреля по начало марта.

Можно. Не будет проблем.

А в чём проблема? В России пересечение границы только по российскому паспорту в Израиле, соответственно, по израильскому. Для Израиля Даркон действителен до последнего дня. Билет можно брать на любой паспорт, абсолютно без разницы, хоть на Марокканский, если таковой имеется.