Подскажите, пожалуйста, на оригинале СОР не хотят ставить апостиль, мол, не влезет. Что нужно? Получить дубликат в ЗАГСе и на него ставить апостиль?

Можно так, а вообще могут и прикрепить к сор лист со штампом апостиля, было бы желание.

Да, получить повторное и поставить на него. Также можете попросить пришить апостиль - мне так сделали, так как оригинал старый и немного мятый.