Можно ли в Никосии удостоверить у нотариуса доверенность на русском языке? Как это сделать и где это будет быстрее?

Только в посольстве.

Мы делали. Доверенность на русском + перевод на англ . Заверяли у местного нотариуса + апостиль. Без англ версии не примут. Но нам доверенность нужна была не в гос органы и банки. Если вам туда, то у вас в РФ просто ее не примут.

Лучше сделать консульскую доверенность, с ней меньше волокиты. Если будете делать доверенность от иностранного нотариуса, то оформляете доверенность на Английском с апостилем. Отправляете эту доверенность в Россию. Доверенное лицо или любой другой человек приходит в бюро переводов, доверенность/штампы/апостиль переводят на русский и заверяет у нотариуса ( называется нотариальный перевод). После нотариального перевода данный документ имеет юридическую силу на территории РФ, его примут в мфц и не только.