Можно ли влететь на Кипр туристу по паспорту с шенгеном, а вылететь по второму без шенгена? С шенгеном потеряли.

Да.

@Tatyana: (1)(на мой взгляд опционально, но лучше перестраховаться): идете в полицию, получаете справку о том, что у вас нет этого документа. 2) спокойно вылетаете по второму в страну куда шенген не нужен, пограничнику показываете дополнительно копию и эту справку.