Подскажите, пожалуйста, кто получал гуманитарную национальную визу D ( §22. 2 AufenthG)

Делать можно, никак не поможет в ускорении одобрения визы если документы и списки ушли, то они рассматриваются, и сейчас это может аж до года занимать, судя по некоторым случаям.

Подаёт документы организация, значит в случае серьёзных задержек им и нужно будет обращаться в мид, а не вам, мне кажется такая логика, они заявители об одобрении/отказе уведомляют в итоге тоже только организацию, а они в свою очередь вас, и вся информация приходит через них, это как посредник напрямую вы с посольством общаетесь только после одобрения.