Я проживаю в Израиле, но записаться тут на очередь в консульство на загран РФ невозможно из-за отсутсвия очередей.

Запись через сайт мид, сначала заполняете анкету, потом выбираете страну и записываетесь. Паспорт отдаете при получении.

Лучше попробуйте в Болгарию или Румынию записаться, как-то быстрее у людей получается. в Софии по телефону на сайте записываться в Констанце, если верно помню, то онлайн запись если вы гражданин Израиля, то въезд безвизовый в ЕС 90/180.

На Кипре тоже не быстро, электронная очередь на слоты, в среднем на месяц, потом выдадут слот рандомно - и через пару дней могут (из отказных), и через месяц-два. Можете попробовать встать в электронную очередь (инструкция на сайте Посольства), прилетать придётся дважды - на подачу и получение. Срок готовности паспорта до 3х месяцев. Паспорт аннулируют при выдаче нового.

Прилететь на Кипр и податься на загран в консульстве РФ можно старый паспорт вы отдаете - или аннулируете - только при выдаче нового. т. е. сразу после подачи он остается у вас и ничего с ним не происходит. как работал так и работает. как следствие, вы можете по нему например выехать с Кипра и потом по нему же приехать чтобы получить в руки новый. 5ти или 10ти летний не имеет значения.