Говорят, что Turkish airlines/ Туркиши проверяет, с чьей карты были оплачены билеты в Италию. Эта информация всё еще актуальна? Если да, то как избежать неприятностей, если билеты оплатит за меня итальянец?

Пусть платит, билеты вам може купить кто угодно. Иногда платёжная система рассматривает транзакцию как сомнительную, потому при покупке билетов редко, но появляется такое. Копия карты плательщика решит эту проблему. Но такого уже давно не встречалось, года два назад чаще.

Не проверяют)

Проверяют и просят id и копию карту оплатившего. Без этого до регистрации не допускают.

Я оплачиваю бронирования на Букинге и билеты английской картой моей дочери. Ни разу проблем не возникало.