Прилетаем в 6 утра в Белград, а заселение в гостиницу примерно в 14.00. Есть ли чем заняться утром в городе или все будет закрыто и лучше остаться в аэропорту хотя бы до 8-9?

Пока пройдете контроль, получите багаж, доедите до города будет около 8, думаю можете сразу ехать в город.

Кафешки многие уже будут открыты.

В аэропорту все работает, все кафешки, можете там посидеть, есть столики с мягкими диванчиками, отдохнёте, успокоитесь, осмотритесь, перекусите и спокойно поедете. .

Теоретически вы можете подъехать к отелю и попросить оставить вещи там, а затем погулять по городу/центру, пока ваш номер готовят. Но может оказаться так, что вас сразу смогут заселить (или раньше положенного, если посидеть часок), у меня так было несколько раз.

Багаж всегда можно в отеле оставить. Заведения в окрестностях и часы работы.

Конечно есть чем! Кофе, ракия, плескавица.