Обьясните, пожалуйста, можно ли выезжать по российскому паспорту, или обязательно по израильскому? Если по израильскому, то можно ли билеты покупать на российский паспорт?

Можно по российскому. Просто по изр. заграну выезжать из Израиля удобнее) билеты на любой паспорт покупаете, регистрация на рейс (где сотрудник а/к смотрит тот паспорт, на который вы купили билет) и прохождение границы - это разные вещи.