Гражданин России может ли купить на свое имя квартиру в Баку?

Да! без проблем.

Да.

Может. Нужен заграничный паспорт, регистрация в Азербайджане (вне зависимости от того, на какой срок приехали и можно не регистрироваться), согласие супруга на покупку (если покупатель состоит в браке), нотариально заверенное.