Агент прислал договор о съёме квартиры с одним лицом. Говорит не вписывают тут каждого члена семьи.

Всех надо вписывать, хотя бы для БК. По моему опыту здесь все это знают и делают - у агентств уже бланки соответствующие, да и собственники, кто сдавал квартиры, тоже прекрасно в курсе. Что касается подачи на боравак, то там договор не обязателен, но нужны 'согласность' власника, копия его личной карты и выписка из кадастра на арендуемую квартиру.