Подскажите пожалуйста как осуществлять поездку из РФ например в ЕС. Если у меня двойное гражданство? на какой паспорт брать билет ? Какой паспорт где показывать и так далее ).

Не двойное, а 2 у вас. Билет на любой, но раз в ЕС то на молдавский берите. На стойке регистрации показываете молдавский паспорт, пограничникам РФ показываете паспорт РФ, далее паспорт РМ везде. Обратно так же. Если попросят, можете оба паспорта показать, иметь 2 гражданства не запрещено и перемещаться таким способом нормально.