Если пермит на одном паспорте оформлялся на Кипре ( кстати, есть привязка или нет?) , а виза в другие страны в другом, как лететь?

Привязка есть. Брать оба.

У меня один раз действующая виза в ЮК была в паспорте, который истек. Брал оба и все.

Оба. На кипр/с кипра пограничнику предъявлять тот, что привязан к пермиту. Авиакомпании и пограничнику в юк на прилете - тот, где виза. А на вылете в юк вроде как и нет паспортконтроля.