Подскажите что-то вроде травмпункта, или клинику, куда можно круглосуточно обратиться?

Hitna pomoc, ехать к ним самостоятельно, они только на экстренные выезжают.

Касается всех: если у вас что-то серьезное (на ваш субъективный взгляд), лучшее место для помощи - Ургентный центр при клиническом центре Войводины(заезд с Футошкой улицы). Не надо надеяться, что в частных клиниках помогут или уповать на скорую, в итоге там будет эффективнее ( по поводу дешевле или нет уже подзабыл, но в зависимости от того, попадете ли в больницу и страхового покрытия, если имеется).