Сколько наличных долларов может провести с собой через границу, путешествую на самолете из Москвы в Баку семья из 4-х человек ( двое взрослых и двое детей 2 года и 5 лет)?

Посмотрите выше выдержку из правил таможенного комитета Азербайджана. Правила ввоза как-то нечетко приписаны в этом тексте. До 10-ти тыс. долларов на каждого члена семьи точно можно будет. Учтите, что у вас будет ограничение на вывоз из РФ валюты - в РФ все еще действует запрет на вывоз более 10 тыс на человека. При этом в РФ точно прописано "Согласно российскому законодательству, право на ношение наличной валюты распространяется на несовершеннолетних детей. ".