Если заграну осталось срок три мес, сколько ещё можно находится в Сербии или уже нельзя? .

До даты окончания можно.

Но уже не должны запускать при выезде.

Идти сдаваться в консульство, могут выписать 5 летний паспорт в таких случаях, ибо их бланки в наличии.

Так оформляйте паспорт новый, не ждите окончания действующего.