В консульстве РФ в Будапеште говорят по-русски?

В Российском консульстве находится российский консул. Россиянин. И все сотрудники консульства россияне.

Проще так - это территория РФ. Как и любое другое консульство любой страны в любой стране. То есть консульство Германии/Франции/Италии - это территория соответствующих стран и работники граждане этих стран. Просто, чтобы проще запомнить. Часто еще работники консульство владеют дополнительно тем языком, в какой стране это консульство находится. То есть в Венгрии часть сотрудников консульства РФ наверняка владеет венгерским, помимо языка страны своего гражданства.

Говорят)))