Кто платит налог за машину в Германии, подскажите, они сами с карты списывают или самостоятельно платить надо?

Сами снимут.

Вообще при регистрации авто вы должны были дать свой Iban и подписать SEPA. Это как раз на снятие денег за налог. Письмо вам прийдёт, там будет сумма налога и то что они сами это со счета стянут.