Если еду в Корею по КЕТЕ и жить буду у друга, мне нужно показать на границе какое-нибудь приглашение? или просто нужно будет назвать адрес и телефон друга?

У вас в кете должна быть цель поездки "визит" обязательно. И тут все зависит от того, кто ваш друг) Если кореец, то будьте готовы объяснить откуда вы знакомы, могут попросить показать общие фотки, спросить дату рождения друга и прочее) Нас это обошло стороной, но знаю, что такие случаи бывают)