Подскажите надо ли обязательно идти в полицию, и уведомлять ее о том, что мы переехали(мы еще без ВНЖ)? Были ли у кого проблемы связанные с этим?

Зависит от того будете ли вы оформлять ВНЖ или визаранить. Мы при приезде сняли квартиру на 10 дней, власник сделал БК. Потом сняли квартиру на год, сделали без проблем новый БК по новому адресу (дата въезда та же, что и в первом БК), а потом сдали доки на ВНЖ.