Если на 14 дней лечу в Азербайджан, телефон же регистрировать не нужно нигде и платить?

Нет... телефон 30 дней будет работать, но следующий приезд уже не будет.

Главное вот что: будете ли вставлять в свой телефон азербайджанскую сим-карту или нет. Если нет, то никаких действий от вас не требуется и срок вашего нахождения вместе с телефоном не имеет значения. Если да (хоть на минуту и он в сети), то через 30 дней ваш телефон перестанет работать в Азербайджане вне зависимости, какая в нём будет сим-карта, азербайджанская, российская или иная. Перестанет работать именно сотовая связь и мобильный интернет, wi-fi будет работать.