Подскажите, пожалуйста, в какой момент происходит смена фамилии или имени? Сразу во время консульской проверки для репатриации в Израиль?

Вы можете, по желанию, изменить свои данные во время получения временного тз в мвд, после консульской проверки. надо только успеть это сказать во время оформления.