Кто живет в Венгрии, скажите, белую карту надо забирать самим, они пришлют письмо, что она готова, верно?

Если переживаете — обратитесь к иммиграционным специалистам, они Вас проконсультируют)

Тут все зависит от того, какой адрес у вас был указан в документах на визу. Если постоянный, то не надо его репортить, надо сходить в в миграционку и забрать там карты ВНЖ и куаркод. Если был временный, а вы нашли постоянное жилье, то надо репортить смену адреса - если саму карточку ВНЖ уже получили, то онлайн. А если не забрали, то проще всего одновременно это сделать - принести договор аренды и адресные формы в миграционку и получить куаркод на месте вместе с карточкой ВНЖ.