У нас виза заканчивается, а апойнтмент миграшка дала аж на февраль. Дает ли нам это право остаться после окончания визы? Или все равно нужно улетать?

Официально надо улетать.

Нам в такой ситуации в мигрейшн сказали, что мы можем оставаться до аппойнтмент, тк у вас на руках есть дата (уточните у них)

Можете, но у вас будет визовый разрыв. Так что в идеале улетать.