Подскажите, пожалуйста, как проходит процесс перехода с самостоятельного страхования на страховку, за которую платит работодатель в Австрии ? Требуются ли какие-либо действия от меня ?

Лучше уточнять у компании, но обычно они все делают сами, присылают вам бумажку (и компания, и ÖGK, если у вас ÖGK), что теперь вы застрахованы от лица работодателя. По крайней мере, так было у меня, но у всех индивидуально, я бы посоветовала вам все равно уточнить у HR или управляющего в компании.