Подскажите, пожалуйста, Если меняешь место жительства на Кипре и подписываешь новый контракт, обязательно ли об этом уведомлять миграционку или на работе предоставлять новый контракт?

На данном этапе не нужно предоставлять. Но когда будете подавать документы на продление пермита тогда придётся. Киприоты кстати все думают что миграционная служба и налоговая это одно и то же! и все не хотят показывать контракты в миграционную службу. Но они могут и не узнать о том что вы подали этот контракт. Поэтому можно хозяину квартиры и не говорить об этом.