Подскажите, пожалуйста, возможно ли в Улан-Баторе снять квартиру или разместиться в отеле на неделю в пределах 250$?

Можно. Отелей много.

New west Hotel ± по вашей цене.

Например, отель Кайзер за примерно $280 в неделю на двоих. Самый центр. Если возле Гандана, то можно и существенно дешевле.