Никто не подскажет, непосредственно консульство Италии проверяет наличие необходимой суммы денег на счетах, или это прерогатива визового центра?

Обычно визовый центр проверяет наличие документов по необходимому списку, а вот наполнение каждого документа более тщательно проверяет консульство.

Оно не может никак проверить так как в РФ законодательстве есть пункт о банковской тайне. Никто кроме Вас и банка не имеет права знать сколько у вас на счету денег.