Я была прописана в квартире, контракт на аренду которой закончился, а пока я ищу новое жилье, снимаю разные варианты через эирбинби. Что нужно сделать с пропиской?

Если вас и новых жильцов в той квартире это не тревожит, то ничего не надо делать. Формально вы до 6 недель можете жить "в гостях" без новой регистрации, но вряд ли это кому то интересно проверять.