Если есть внж Сербии по одному адресу и переезжаешь - можно ли не ходить и не сообщать об этом? Каким образом они узнают, если переехать и не сообщать?

По закону, вроде, надо. Узнать могут, если вы 1) переезжаете в себе собственно купленную квартиру, 2) если переезжаете в официально снятую квартиру, где власник оформляет все по закону, в том числе его финансовые отношения с государством. Во втором случае это - лотерея и ваши риски.