Не подскажете, как сейчас проще и надёжнее ( и быстрее) подаваться на шенген - делать туристическую визу или по приглашению?

Подавайтесь по приглашению, т. к. по туризму потребуют выписку со счёта в иностранном банке и оплаченный отель, это помимо оплаченных билетов и европейской страховки. Если в отеле жить не планировали, то нечего городить.