Я не успел стать резидентом Израиля, но успел зарегистрироваться в больничной кассе. Если я уеду на несколько месяцев, начнёт ли у меня копиться долг за больничную кассу через полгода после репатриации?

Долг копится перед битуах леуми (нац страхование), а перед больничной кассой - только если оформляли доп. страховки. Про отчисления в БЛ можно почитать у них на сайте, там на русском есть статьи.

как только вы получили гражданство вы уже резидент для БЛ и через пол года он начнет вам начислять взносы.