Скажите, можно ли почтой из Будапешта в Москву и наоборот отправлять посылки? И где это сделать?

По крайней мере первое - можно, на обычной почте.

Я отправил ПИСЬМО, два листа, бумажной почтой 12 сентября 2023 года. Первый месяц письмо спокойно лежало в Будаёрше. После 12 октября зашевелилось и уже во Внуково. Думаю, к Новому году как раз успеют довезти до адресата в Москве. Как обычно, оценка скорости доставки почтовых отправлений методом “посчитайте время пешего хода (408 часов) из расчёта что почтальон будет шагать по 6 часов в день: 8 рабочих с двухчасовым перерывом” близка к истине.

Nyugati pályaudvar с боку справа почта.