Делали семье продление пермита, для жены это платно, а для детей 0 евро, поэтому ресипт с печатью о том, что по этому документу можно въезжать на Кипр есть только у жены. Это нормально? Или детей теперь обратно не пустят, если выедем?

Да. это ожидаемое поведение мигрейшена:( чтобы впустили детей обратно лучше оформить для них entry permit.

На Кипре то пустят. А вот авиакомпания страны вылета не пустит с вероятностью 95%. Покупаете марок на 12.5 евро, едите в Никосию в мигрейшн, и получаете визу для возвращения, это такой штамп с марками поверх.

Не пустят Нужно поставить штамп в паспорт в миграции.

Про марки так и есть Они нужны для штампа в паспорте.