Можно ли через консульство РФ на Кипре получить справку о том, что в России я не состою в браке, чтобы можно было вступить в брак здесь?

Нет, нельзя.

Без справки вы можете вступить в брак в Грузии, только нужно перевести на грузинский свои паспорта и паспорта двух свидетелей.

Зарегистрируйтесь как гражданский союз, ничего, кроме свидетельства о рождении не нужно.