Подскажите, пожалуйста, можно ли подаваться на шенген на Кипре, если через месяц после подачи, надо будет обновлять пермит? и примут ли вообще документы?)

Да. Шансы есть.

Могут не принять и попросить сначала receipt о продлении. Коллеги ходили в австрийское консульство и их попросили сначала подать на обновление, так как к моменту приезда из Австрии ВНЖ бы действовал менее 3 месяцев.