А через сколько примерно после одобрения ВНЖ Австрии приходит письмо от консульства?

На данный момент вроде как на 4 рабочий день после одобрения, но это приблизительно. Вам может прийти письмо раньше и позже, точной даты никто не знает.

У всех по разному, у кого-то на следующий день, у кого то через пять.