Подскажите, пожалуйста, в московских МФЦ ставят апостили на справки и свидетельства, выданные в ЗАГС Московской области?

Не ставят, ставят только в том субъекте РФ, который выдал документ. Чтобы не ехать в область, можно получить эти справки еще раз в московском МФЦ, и тогда поставят апостиль в Москве.

Не ставят.

Справки, да, можно взять в Московском МФЦ и уже отдать на апостиль. А за апостилем на свидетельство меня отправили в главное управление ЗАГС МО в д. Раздоры Одинцовского района.