Скажите пожалуйста, на Кипре в консульстве РФ проставляют апостили на документы? Или вообще где-то апостилируют официальные документы из РФ?

Апостиль на документы, выданные РФ, ставится в РФ ведомством по профилю документа например свидетельство о рождении - управление ЗАГС и т. п. консульство не ставит апостиль на документы РФ, местные госорганы не ставят апостиль на документы РФ.