Подскажите, где ставят количество дней посещения Кипра при прохождении контроля? Если офицеру конечно это в голову взбредет.

В штампе даты указаны.

Он может прям от руки ручкой поставить свои даты.

Смотря в каком контексте - если вам нужно следить за датами, чтобы не потерять внж - то вроде в базе специальной эти данные хранятся; только не забудьте, что въезжать и выезжать надо, предъявляя именно ресипт (можно просто показать на телефоне, там главное - его номер), а не какие-либо другие документы (например, шенген или внж в странах Шенгена)